Lòng phấn khởi cảm nhận nhiệt tình trăn trở của nhiều người lo cho tương lai của các cháu. Không lạ gì vào mỗi kỳ thi toán Olympiad quốc tế, các cháu đều được huy chương và đem lại vinh dự cho đất nước. Ở xứ người, mình chẳng có chút công lao gì, nhưng cũng được thơm lây... Thì cũng mạnh dạn ghi lại đây chút hiểu biết của một phụ huynh học sinh khi giúp con học toán, trong môi trường giáo dục nước Pháp.

1) Liên kết

Một thương tóc bỏ đuôi gà
Hai thương ăn nói mặn mà có duyên

Giọng mẹ ru con từ thuở còn tấm bé. Rồi làn điệu dân ca lớn dần với tuổi thơ, và âm hưởng vẫn còn đọng lại trong tâm khảm tới bây giờ... Thói thường trẻ thích toán cũng thích âm nhạc. Tuy chưa có một thống kê hay một nghiên cứu tầm cỡ nào, nhưng có vẻ ai cũng công nhận là những nhà toán học thích nhạc và giỏi nhạc, thường là nhạc cổ điển Âu Tây. Đặc biệt là Mozart và Bach. Cứ thử nghe một cantate hay một fugue của JB. Bach, mình sẽ cảm nhận vô vàn biến tấu xoay chung quanh một chủ đề. Rồi chủ đề này liên kết và giao hưởng với chủ đề khác tạo thành những kết cấu chặt chẽ, triền miên... y hệt như biển sóng, y hệt như cuộc đời, y hệt như toán học. (1)

Phải giúp cho cháu thấy được sợi giây liên kết vô hình giữa mọi vật. Chuyện kể lại rằng Gauss đã làm ngạc nhiên các thầy tự hồi niên thiếu. Thầy bảo các trò phải làm một bài toán cộng: 1+2+3+....+98+99+100. Trong khi các em khác cúi đầu chăm chỉ cộng, thì Gauss chỉ cần một chút suy nghĩ rồi cho liền đáp số: 5.050, vì cậu bé Gauss đã thấy cái tương quan giữa những con số. 1 với 100, 2 với 99, 3 với 98, cứ như thế đủ 50 lần, nhân lên thành là 5.050. (2)

Trong nhạc và nhất là nhạc của Bach, sợi giây liên kết là hoà âm và tiết tấu. Trong toán học, cái tương quan đó là luận lý. Cũng đừng quên rằng ngũ hành có liên quan tới ma trận và ngũ âm. Việt Nam mới mất một thiên tài về thi nhạc. Nhạc sỹ họ Trịnh có cách ghép chữ rất độc đáo: biển nhớ, nắng thủy tinh, tay măng. Không phải nhạc sỹ đã thấy cái tương quan giữa sự vật đó sao? Chữ "biển" và chữ "nhớ" xa nhau ngàn dặm, thế mà khi trở thành "biển nhớ", nó lại gợi cho ta một tâm thức sâu thẳm ngàn trùng.

Đó là mình còn chưa nói tới hoa đạo, hội hoạ... hay ngay cả những gì tầm thường nhất trong cuộc sống. Cứ để cho cháu nhìn, cháu sẽ thấy cuộc đời qua một lăng kính khác... Và có nhà toán học non trẻ (mathématicien en herbe) nào đã nhìn thấy cảm hứng toán học qua những làn điệu dân ca, qua câu hò mái đẩy, qua tiếng rao hàng đêm đêm, qua những giọng ru hời... chưa? Nếu chưa thì xin lắng nghe tiếng thôi thúc của trống đồng vọng lại từ hơn ngàn năm...

2) Lịch sử

Mộc miên hoa ánh tùng ty tiểu
Việt cầm thanh lý xuân quang hiểu
Đồng cổ dự man ca
Nam nhân kỳ tải đa...(3)

Đã mang thân phận con người, không ai ở ngoaì lịch sử, biển nhớ của tâm thức nhân loại. Học toán cũng không thể là ngoại lệ. Ôn cổ tri tân. Mà cuộc đời của Galois (đầu thê' kỷ thứ 19) cũng hấp dẫn lắm chứ. Vì một cuộc tình mà phải đấu súng, để rồi đã thức trắng cả đêm để ghi lại cho nhân loại Théorie des groupes bất hủ mà mãi gần hai thế kỷ sau này Wiles vẫn phải dùng đến khi chứng minh định lý Fermat. Rồi cái chết bất khuất của Giordano Bruno... Rồi cuộc đời ngắn ngủi của thần đồng toán học Ấn Độ Ramanujan, một thiên tài về toán, mà phải sống khổ cực, không phải chỉ thiếu thốn của ăn, nhưng còn thiếu thốn cả sách vở. Ramanujan (1887-1920) đã tự học nhiều hơn là thụ giáo nơi các thầy. Mãi tới bây giờ, hàng ngàn công thức toán học mà Ramanujan để lại cho nhân loại vẫn chưa được giải mã hết... Và còn rất nhiều chuyện không kém phần hấp dẫn và bổ ích khác. (4)

Giáo trình không thể nào bao quát hết được, nhưng nếu kể cho cháu nghe lịch sử toán học khi trên đường về quê nội, khi đi dạo trên bãi biển... thì hay biết mấy. Mà nếu nói về cội nguồn của văn hoá Châu Âu, không thể không nhắc tới Lão Tử.

3) Đối xứng

Hữu vô tương sanh
Nan dị tương thành
Trường đoản tương giao
Cao hạ tương khuynh
Âm thanh tương hoà
Tiền hậu tương tùy (5)

Hermann Weyl: "Sự đối xứng là ý tưởng mà, trải qua bao thế hệ, nhân loại đã dùng để phân tách, tạo dựng ra trật tự, cái đẹp và sự hoàn hảo". Ở Pháp, ngoài giáo trình và trường học, có hai tổ chức giúp các cháu học toán đáng để ý là Liên Ðoàn Toán Vui (Fédération Francaise de Jeux Mathématiques, FFJM ) và Club Toán Trẻ ( Math en Jeans ). FFJM mỗi năm đều tổ chức thi toán: đợt tỉnh, đợt miền, rồi đợt quốc gia. Năm nay FFJM có ra một bài toán hỏi các cháu 11-12 tuổi phải kiếm một ngày gần nhất so với ngày 20 tháng 2 năm 2002 mà khi viết liền tù tì sẽ là 20022002... Còn Math en Jeans thì thường cho các cháu 14-18 tuổi một đề tài nhỏ về toán để nghiên cứu, chẳng hạn như "hình vuông loạn xà ngầu". Các cháu sẽ nghiên cứu đủ loại đối xứng của hình vuông, rồi người dẫn sẽ đưa các cháu dần dà tới ý niệm về đối xứng trong Théories des groupes của Galois.

Thế nào cũng còn hàng trăm, hàng ngàn thí dụ hay hơn. Nêu ra như thế, chỉ muốn nói rằng là sự đối xứng tràn đầy ra cả cuộc đời: không phải chỉ trong hình học mà còn ở trong số học, trong cuộc sống thường ngày. Nếu cháu tập nhìn ra đối xứng thì đã hiểu được một mấu chốt trong toán học.

4) Tĩnh và Động

Học toán là học quan sát. Nhìn sự vật rồi nghĩ tới hình thể và hình học Euclide; nhìn mũi tên bay thì nghĩ tới tốc độ và suy ra đạo hàm. Thấy lực đẩy ma`nghĩ ra vecteur... Đó là khi người quan sát ở thể tĩnh. Như đứa bé vui đùa, tháo cái này, thêm bớt cái kia, nhồi nặn đất sét, nhà toán học đôi khi cũng không thích ở yên. Các vật thể toán học cũng được nhồi nắn, thêm bớt, biến dạng... Đừng ngại khi thấy cháu đùa chơi, chỉ ngại khi không biết chỉ cho cháu cái sâu xa trong những chuyện tưởng là tầm thường nhất. Các cháu thường thích bóng đá, nếu nhân dịp đó mà cắt nghĩ phép tính xác suất thì hay biết mấy.

5) Biến và bất biến

Trong hình học cổ điển Euclide, có thể xem những vật thể như được rọi bằng một nguồn sáng xuất phát tự vô tận. Hai đường thẳng song song được ví như những tia nắng, chúng không bao giờ gặp nhau. Nhưng trong hình học gọi là projective, nguồn sáng không đến từ vô tận, các đường thẳng không còn song song với nhau nữa và sẽ gặp nhau ở một điểm... Vẫn còn là hình học, nhưng đã từ từ biến thành topologie. Mặt phẳng sẽ không còn thẳng cứng, mà yểu điệu tha thướt như áo lụa Hà Đông trước gió. Có cháu thường quen với ấm sành, ấm đất. Không phải đó là một dạng của topologie hay sao? Còn biết bao nhiêu thí dụ khác. Vật thể toán học được phóng đại, thu nhỏ, uốn nắn... nhưng cái phần cốt lõi vẫn còn đó.

6) Trí tưởng tượng và trực giác

Math en Jeans có ra đề tài nghiên cứu về số học cho các nhà nghiên cứu toán học tí hon 13-14 tuổi. Ở tuổi đó, các cháu thường thích nói ngược. "Brenom" là "nombre" nói ngược (có thể tạm dịch ra tiếng Việt là "số con" thay vì "con số"). Đó là những con số được thêm vào phía trái thay vì phía phải như cũ. Thí dụ: ...987654321 hoặc là ...999999999. Nếu ta làm phép cộng ...99999999 + 1 = 0. Như vậy, nếu tính theo kiểu brenom ....99999999999 sẽ là - 1. Người phụ trách hướng dẫn sẽ đưa các cháu từ từ tới khái niệm về số học "p-adiques". Nhưng nghe tới số học "p-adiques" thì các cháu lại tưởng là một cái gì quá xa rời thực tế, đợi đến lúc thầy cắt nghĩa là số học "p-adiques" dùng để làm mật mã, thì mắt các cháu sáng hẳn lên.

Cuộc cải cách về phương pháp dạy toán ở trung học tại Pháp trong thập niên 70-80 đã thất bại. Ngay cả Jean Dieudonné, một trong những người sáng lập ra nhóm Bourbaki, cũng đã lên tiếng chỉ trích. Hiện tại, các cháu học toán một cách cụ thể hơn... dùng nhiều trí tưởng tượng và trực giác, nhưng đôi khi lại hơi lơ là với lý luận chứng minh (trừ hai lớp cuối trung học, khi các cháu đã vào lớp chuyên toán). Nói tóm lại, cho tới cuối lớp 10, chương trình toán tương đối nhẹ, thực tế, cụ thể... Cháu nào khá, có năng khiếu về toán, thì có thể được tuyển vào những club như Math en jeans, Tutorat, Kangourou... Ở đó, các cháu sẽ có dịp học toán, nghiên cứu về toán ngoài giáo trình như Fractales, Théorie du chaos và rất nhiều đề tài khác, dưới dạng toán vui...

7) Khai tâm

Xuân khứ bách hoa lạc
Xuân đáo bách hoa khai (6)

Khi mắt tâm đã mở, thì tầm nhìn sẽ rộng rãi và bao quát hơn.
Trong toán học, khi gặp khó, các cháu có thể nhìn sự việc ở một góc độ khác. Không phải Wiles đã phải nhờ tới hình học để giải định lý về số học của Fermat hay sao? Và nữa, thói thường nhà toán học hay "nhân rộng" thành tựu của mình. Họ thích lập một lý thuyết tổg quát, bắt nguồn từ một định đề nhỏ. Xin được nhắc lại là nhạc của Bach cũng thế: từ một chủ đề chính rồi giòng nhạc sẽ từ từ lan rộng ra như giòng suối, như giòng sông Cửu Long...

8) Âm Dương

Mình với ta tuy hai mà một
Ta với mình tuy một mà hai

Nếu gọi Âm là quay lại về mình, chuyên về lý thuyết và lý luận, chứng minh, thì Dương là liên hệ với ngoại tại, thực tế phía bên ngoài, thích dùng trực giác. Khi phân tách về sự xung đột - nếu có - giữa nghiên cứu toán học thuần túy và nghiên cứu toán học ứng dụng, Ian Stewart nói là mình đang đi trên bãi mìn nguy hiểm và dễ nổ (7). Nói thế, nhưng ai cũng công nhận rằng khó phân biệt được đâu là thuần túy hoàn toàn, và đâu là chuyên về ứng dụng. Có những nghiên cứu của Ramanujan đã có ứng dụng trong vật lý. Và những nhà nghiên cứu toán học ứng dụng cũng đã giúp ngành toán phát triển không phải là ít. Weil khi ở vào những năm cuối cùng của cuộc đời gọi đó là Théorie de l'alternance, có lúc thì toán học thuần túy lấn át, có lúc thì toán học ứng dụng chiếm ưu thế (4). Trong dương có âm và trong âm có dương.

Nhưng đối với một phụ huynh học sinh, điều đó có quan hệ gì? Nê'u muốn trao kiến thức cho trẻ em, thì phải để tầm nhìn của mình ngang với tầm nhìn của các em: Tập cho cháu tư duy logic, chứng minh bài toán mạch lạc, nhưng nếu được, cũng nên tìm ra cho cháu những thí dụ rất là cụ thể, thực tế, những áp dụng trong đời sống thường ngày. Khi học về số học, nhất là về Algorithme d'Euclide, các cháu thường thấy khó và trừu tượng. Nhưng nếu nói cho các cháu rằng có thể áp dụng Algorithme d'Euclide vào vi tính, tin học, thì các cháu sẽ phấn khởi hơn. Đó là chưa nói tới chuyện một số nghiên cứu về số học đã được coi như là bí mật quân sự vì có dính líu tới mật mã (7)...

9) Kiên định tâm

Toán học là một môn học sinh động, phát triển không ngừng. Còn biết bao nhiêu chuyện cần phải nói... Xin tạm kết thúc bài viết bằng đôi hàng về phương thức tập trung tư tưởng. Người Á Đông nổi tiếng là trầm tĩnh, nhưng có một vài học sinh, học thì giỏi, nhưng người thì cứ như con lật đật, cử động không ngừng, rung đùi, và mắt cứ nhấp nháy liên miên... hay nhức đầu, đau bụng, đau lưng... Tâ't cả những điều đó chứng tỏ một tâm thần quá căng thẳng. Cần phải chỉ cho các cháu cách thư giãn để các cháu có thể tiến xa và tiến cao hơn.

Nhìn khái quát thì phải tập kiên trì, thư giãn và luyện khí lực. Cũng nên biết rằng có hai cách tiếp cận thực tại: bằng phân tách và bằng chiêm niệm. Phân tách còn được gọi là suy luận nhi nguyên. Chiêm niệm là danh từ gốc phương Tây, Á Đông thường gọi là quán, như quán tức, quán tâm. Blaise Pascal, Augustin, Thomas d'Aquin thường dùng phân tách và lý luận, trong khi Thérèse hay Jean de la Croix lại dùng chiêm niệm. Ở Á Đông, để tiếp cận chữ vô, Nagarjuna dùng phân tách, còn các thiền sư lại dùng chỉ và quán. Nói vậy là để phân biệt hai phương pháp, nhưng trong thực tế, đôi khi lại gặp cả hai trong một tình huống. Nhà toán học suy luận và phân tích vân đề rồi bị kẹt... Khi ăn uống, ngủ nghỉ, cái vấn đề cứ kẹt trong tâm trí, trong cuống họng, y hệt như thiền sư đang quán.
Đùng một cái, đang đi lên xe buýt, đang thấy hoa rơi..., một tia sáng loé lên, và vấn đề trở nên minh bạch và thông suốt, giống như một thiền sư vừa đạt ngộ.

Trần Duy Thực 65

__________________________________________
Chú thích và thư mục:

(1) J.P.Boudine, La présence d' une royauté, HOMO MATHEMATICUS, Vuibert, Paris 2000, chương 4, trang 119-155.
(2) A. Deledicq, D. Isoard, HISTOIRE de MATHS, ACL- Les Editions du Kangourou, Paris 1998, trang 42-44.
(3) Lê mạnh Thát, LỊCH SỬ ÂM NHẠC VIỆT NAM, Nhà xuất bản thành phố Hồ Chí Minh, 2001, trang 35. Đó là một đoạn trong bài Bồ tát man, Toàn Đường thi, thế kỷ thứ 9.
Bản dịch của Lê mạnh Thát:
Bông cây gạo dọi am rừng nhỏ
Chim Việt tiếng đầy ánh xuân tỏ
Trống đồng cùng hát mọi
Người Nam cúng tế mãi
(4) Les Mathématiciens, Belin, Pour la Science, 1996
(5) Nghiêm Toản, Lão Tử ĐẠO ĐỨC KINH, Sài Gòn 1973, chương 2, trang 10-18:
Có Không cùng sanh ra nhau
Khó Dễ cùng làm thành ra nhau
Dài Ngắn cùng so sánh với nhau
Cao Thấp cùng nghiêng úp nhau
Tiếng Giọng cùng trộn lẫn với nhau
Trước Sau cùng theo nhau
(6) Lê mạnh Thát. Nghiên cứu về Thiền uyển tập anh. Nhà xuất bản TP Hồ Chí Minh 1999
Mãn Giác thiền sư (1052-1096):
Xuân đi trăm hoa lạc
Xuân đến trăm hoa khai
....
Đừng bảo xuân tàn hoa rụng hết
Hôm qua, trước sân, một cành mai đã nở hoa.
7) Ian Stewart. The problems of Mathematics. Oxford University Press 1987